函数f(x)的定义域为R,f(0)=2,对任意x属于R,f（x）+f'（x）>1,则不等式e^xf（x）>e^x+1的解集为

Question

函数f(x)的定义域为R,f(0)=2,对任意x属于R,f（x）+f'（x）>1,则不等式e^xf（x）>e^x+1的解集为

Answer 1

解：
定义 h(x) = e^x *f(x) - e^x - 1；则
不等式e^xf（x）>e^x+1的解集就是 h(x) >0 的解集
h(0) = 1* 2 -1-1 =0；
h‘(x) = e^x *[f(x) + f'(x)] - e^x；
∵ [f(x) + f'(x)] >1；且
∴ 对于任意 x ∈ R
e^x *[f(x) + f'(x)] > e^x
∴ h'(x) = e^x *[f(x) + f'(x)] - e^x > 0
即 h(x) 在实数域内单调递增；
∵ h(0) = 0；
∴ 当 x< 0 时，f(x) < 0；
当 x > 0 时，f(x) > 0；
因此不等式e^x*f(x) > e^x +1的解集为：{x| x>0 }