已知函数f（x）的定义域是R，对任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，当x∈[-1，1）时，f（x）=x．关于函数f（x

Question

已知函数f（x）的定义域是R，对任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，当x∈[-1，1）时，f（x）=x．关于函数f（x）给出下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是周期函数；③函数f（x）的全部零点为x=2k，k∈Z；④当x∈[-3，3）时，函数g(x)＝1x的图象与函数f（x）的图象有且只有三个公共点．其中全部真命题的序号是______．

Answer 1

①因为对任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，所以对任意x∈R，f（x+2）=f（x），所以f（x）是周期函数，且周期是2．
所以f（1）=f（1-2）=f（-1），即f（-1）=f（1），
所以函数f（x）不是奇函数．故①错误．
②由①得f（x）是周期函数，且周期是2．故②正确．
③因为当x∈[-1，1）时，f（x）=x，所以f（0）=0．又因为（x）是周期函数，且周期是2，所以函数f（x）的全部零点为x=2k．故③正确．
④x∈[-1，1）时，f（x）=x，令f（x）=g(x)＝

1

x

解得x=-1或x=1（舍去）．当x∈[1，3）时f（x）=x-2=g(x)＝

1

x

解得x=1+

2

或x＝1?

2

（舍去）．当x∈[-3，-1）时，f（x）=x+2=g(x)＝

1

x

解得x=-1-

2

或x=-1+

2

（舍去）．故④正确．
故答案为②③④．