已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）=2，对任意x∈R，都有f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1

Question

已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）=2，对任意x∈R，都有f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（　　）A．{x|x＞0}B．{x|x＜-1，或x＞1}C．{x|x＜0}D．{x|x＜-1，或x≥1}

Answer 1

令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又f（0）=2，∴g（0）=e⁰f（0）-e⁰-1=2-1-1=0，
故当x＞0时，g（x）＞g（0），即e^xf（x）-e^x-1＞0，整理得e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）＞e^x+1的解集为{x|x＞0}．
故选A．