已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,对任意x∈R，f ＇（x）＜1，则不等式f（2x）＜2x+1的解集为 求详细解答

Question

如题所述

Answer 1

解：
构造函数
F(x)=f(x)-x-1
则 F(1)=f(1)-1-1=0
且 F'(x)=f'(x)-1<0
所以 F(x)在R上是减函数
f(2x)<2x+1
f(2x)-2x-1<0
所以 F(2x)<0
即 F(2x)<F(1)
因为 F(x)在R上是减函数
所以 2x>1
所以 x>1/2
解集 {x|x>1/2}

Answer 2

令g(x)=f(x)-1，那么g'(x)=f'(x)-1
因为对任意x∈R，f '(x)＜1
所以对任意x∈R，g'(x)=f'(x)-1＜0
即g(x)在R上单调递减
而g(1)=f(1)-1=2-1=1
所以不等式f(2x)＜2x+1可以变为：f(2x)-2x＜1
即g(2x)＜g(1)
所以2x＞1，x＞1/2
所以不等式的解集为{x|x＞1/2}