已知偶函数f（x）的定义域为R

Question

当x≥0 f（x）=x^2-4x （1）试用 分段函数表示fx（2）解 fx大于-3 （3）若数列an的前项和sn=fn 求数列的an

Answer 1

(1)令x<0，那么-x>0，所以f(-x)=(-x)²+4x=x²+4x
而f(x)时偶函数，所以f(x)=f(-x)=x²+4x (x<0)
那么f(x)=x²-4x (x≥0)
=x²+4x (x<0)
(2)当x≥0时，f(x)=x²-4x>-3，(x-1)(x-3)>0，x>3，或x<1，那么x>3，或0≤x<1；
当x<0时，f(x)=x²+4x>-3，(x+1)(x+3)>0，x>-1，或x<-3，那么x<-3，或-1<x<0；
所以x<-3，或-1<x<1，或x>3
(2)因为n>0，所以Sn=f(n)=n²+4n
当n=1时，a1=S1=1+4=5
当n>1时，an=Sn-S(n-1)=n²+4n-(n-1)²-4(n-1)=2n+3
而当n=1时，a1=2+3=5，符合此式
所以an=2n+3 (n∈N+)

Answer 2

(1)
x<0，则-x>0
偶函数，所以f(x)=f(-x)=(-x)^2-4(-x)=x^2+4x
f(x)={x^2+4x(x<0)、x^2-4x(x>=0)}。

(2)
x<0时，x^2+4x>-3、x^2+4x+3>0、(x+1)(x+3)>0、x<-3或-1<x<0。

x>=0时，x^2-4x>-3、x^2-4x+3>0、(x-1)(x-3)>0、0<=x<1或x>3。

解集为：(-无穷,-3)U(-1,1)U(3,+无穷)。

(3)
n>0，所以Sn=n^2-4n
a1=S1=-3。
n>=2时，an=Sn-S(n-1)=n^2-4n-(n-1)^2+4(n-1)=2n-5，a1=-3也适合此式。
所以，an=2n-5，n为正整数。

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