已知定义域为R的偶函数f(x),满足f(1)=1/2,当x>0,f(x)<1,且对任意x,y≥0总有f(x+y)=f（x）f（y）

Question

（1）求f（0）的值
（2）判断并证明f（x）在[0,正无穷）上的单调性
（3）求不等式f（x-1）-f（2x-1）>0的解集

希望第二问可以详细点，谢谢了！

Answer 1

(note a^2为a的平方）
(1).令x=y=0,f(0)=f(0)^2得f(0)=1.或f(0)=0
由f(1+0)=f(1)f(0)=1/2,看出f(0)=1；
(2)assume:x>=0,y>0
x+y>x,且都属于[0,正无穷)
f(x+y)-f(x)=f(x)[f(y)-1]=[f(x/2)]^2×[f(y)-1]<0
f(x) 为减函数
(3)x-1,2x-1正负未知，需要根据偶函数的特点来求
满足|x-1|<|2x-1|
等价于（x-1）^2-(2x-1)^2<0 解集={x|x<0 or x>2/3}