(2014•保定一模)已知函数f(x)的定义域为R，且满足:f(x)是偶函数，f...

Question

(2014•保定一模)已知函数f(x)的定义域为R，且满足:f(x)是偶函数，f(x-1)是奇函数，若f(-0.5)=9，则f(2012)+f(2014)+f(2.5)+f(1.5)等于( )A.-18B.-9C.0D.9

Answer 1

解答:解:∵f(x)是偶函数，f(x-1)是奇函数，
∴f(-x)=f(x)，f(-x-1)=-f(x-1)=f(x+1)，
∴f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
即函数f(x)的周期是4，
∴f(2012)+f(2014)+f(2.5)+f(1.5)=f(0)+f(2)+f(-1.5)+f(1.5)=f(0)+f(2)+2f(1.5)，
当x=0时，f(2)=-f(0)，
即f(0)+f(2)=0，
当x=-0.5，f(-0.5+2)=-f(0.5)=-9，
即f(1.5)=-9，
∴f(2012)+f(2014)+f(2.5)+f(1.5)=f(0)+f(2)+2f(1.5)=0-9×2=-18.
故选:A