函数f(x)的定义域为R，且满足条件1.当x＞0时f(x)＜0 2.对于任意实数都有f(x+y)=fx+fy.

Question

若x>0时不等式f（ax-1)+f(x-x^2)>0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

因为对于任意实数都有f(x+y)=fx+fy.
令x=y=0
f(0)=0
令y=-x
f(x)+f(-x)=0
所以函数f(x)是奇函数
因为当x＞0时f(x)＜0，而函数是奇函数，
令x<0，则 -x>0
所以f(-x)<0 故f(x)>0
所以当x<0时 f(x)>0
若x>0时不等式f（ax-1)+f(x-x^2)>0恒成立
即f(x-x^2+ax-1)>0 在x>0恒成立
即当x>0的时候 -x^2+(a+1)x-1<0恒成立
整理之 ax<x^2-x+1
a<x+（1/x）-1 当x>0恒成立
只要a小于x+（1/x）-1的最小值就满足条件
因为x>0 所以x+（1/x）-1的最小值是 1（根据基本不等式a+b>=2根下ab）
a的范围是 a<1

Answer 2

f(x+y)=fx+fy

f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0

f(0) = f(x) + f(-x)
=0

f(x)为奇函数

因为x＞0时f(x)＜0
所以 , x<0时f(x)>0

若x>0时不等式f（ax-1)+f(x-x^2)>0恒成立,

f（ax-1)+f(x-x^2) = f( -x^2+ (a+1)x -1)

-x^2+ (a+1)x -1 <0

则 有解决判别式 = (a+1)^2 + 4 < 0

得 -3<a<1

Answer 3

f（ax-1)+f(x-x^2)=f[（ax-1)+(x-x^2)]=f[-x^2+（a+1)x-1]
所以f（ax-1)+f(x-x^2)>0恒成立 即f[-x^2+（a+1)x-1]>0恒成立

f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0) ,f(0)=0

当x＞0时f(x)＜0 当x=0时f(x)=0
所以只有 x＜0时，f(x)＞0才有可能成立
而f[-x^2+（a+1)x-1]>0恒成立
所以-x^2+（a+1)x-1＜0恒成立
所以△=（a+1)×（a+1)-4＜0
所以 -2＜a+1＜2
-3＜a＜1