设函数f(x)的定义域是R,当x>0时,f(x)<1,且对任何实数x、y,都有f(x+y)=f(x)*f(y),f(2)=1/9,f(0)≠0

Question

1）求证：函数f(x)在R上单调递减
2）解不等式f(x)f(3x-1)<1/27

Answer 1

其实这种函数你要联想指数函数
(1)令x=y=0
∴f(0)=f(0)*f(0)
∵f(0)≠0
∴f(0)=1
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)＜1
∵1=f(0)=f(x+(-x))=f(x)f(-x)
f(x)=1/f(-x)＞1
∴f(x)＞1＞0
设x1＜x2
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)*f(x1)-f(x1)
=f(x1)*[f(x2-x1)-1]
∵x2-x1＞0
∴f(x2-x1)＜1
∴f(x2-x1)-1＜0
又∵f(x1)＞0
∴f(x2)-f(x1)＜0
∴f(x2)＜f(x1)
∴f(x)为减函数
(2)对于f(x)f(3x-1)由题知可化简为f(x+3x-1)
f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=1/9
∴f(1)=1/3
f(1)*f(2)=1/27=f(3)
∴不等式可化为f(x+3x-1)＜f(3)
∵f(x)为减函数
∴x+3x-1＞3
解得x＞1

不明白的欢迎问

Answer 2

因f(x+y)=f(x)f(y)
故f(x)f(3x-1)=f[(x)+(3x-1)]=f(4x-1)

令x=1,y=1得f(2)=[f(1)]²=1/9
因为令x=y=1/2 可得f(1)=[f(1/2)]²
所以f(1)=1/3 负的舍去
所以有f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1+1)=f(1)f(1)f(1)=1/27

原不等式可化为f(4x-1)<f(3)
根据单调递减得4x-1>3即x>1