设函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)成立.数列{an}满足

Question

设函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)成立.数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）=1/f(-2-an)(n∈N)。
（1）求证函数f（x）在R上是单调递减函数；（2）求a2007的值；
（3）若不等式（1+1/a1）（1+1/a2）...（1+1/an）≥k根号下（2n+1）对一切n∈N均成立。

Answer 1

(1)
令x=0,y=-1<0
f(-1)>1>0
∴f(0-1)=f(0)f(-1)
f(-1)(1-f(0))=0
∴f(0)=1
设x1<x2
f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)*f(x1-x2)，
f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)
由于x1<x2，则x1-x2<0，
当x<0时,f(x)>1
知f(x1-x2)>1，所以f(x1)>f(x2)。
可见f(x)为单调递减函数
（2）
f(0)=1
a1=1
f（a[n+1]）=1/f(-2-an)
∴f(a[n+1])*f(-2-a[n])=1=f(0)
∵f(x+y)=f(x)f(y)
∴f(a[n+1]-2-a[n])=1=f(0)
∴a[n+1]-2-a[n]=0
a[n+1]-a[n]=2
a[n]是等差数列
an=1+(n-1)*2=2n-1
a2007=4013
(3)
（1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)≥k√(2n+1)
要求k的最大值，即是求[（1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)]/√(2n+1)的最小值
设函数f(x)=[（1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)]/√(2n+1)
则 f(x+1)=[（1+1/a1)(1+1/a2).....(1+1/an)(1+1/a(n+1)]/√(2n+3)
f(x)所有项都是正数
用f(x+1)/f(x)=1+1/a(n+1) * √(2n+1) / √(2n+3)
=1+1/2n+1 * √(2n+1) / √(2n+3)
=2n+2/2n+1 * √(2n+1) / √(2n+3)
=√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}
显然(2n+2)^2>(2n+1)*(2n+3) (作差即可得出）
所以√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}>1
所以f(x+1)/f(x)>1
f(x+1)>f(x)
即此函数递增，最小值为f(1)=2/√3=2√3/3
k<=2√3/3
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