设函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)。x>0时,f(x)<0,f(2)=-1

Question

设函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)。x>0时,f(x)<0,f(2)=-1
求证：y=f（x）是奇函数
求y=f（x）在区间[-6,6]上的最大值

Answer 1

f(0)=2f(0),f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
定义域是R
所以f(x)是过原点的奇函数
f(2x)=2f(x)
x>0时，（2x,f(2x)）与原点构成直线的斜率＝（2f(x)-0）/(2x-0)=f(x)/x=(x,f(x))与原点构成直线的斜率
所以x>0时，f(x)图形是一条直线
f(x)斜率是（－1）／2＝－1／2
f(x)=(-1/2)x
x<0时，f(x)=-f(-x)=(-1/2)x
综上，f(x)=(-1/2)x

Answer 2

(1)令x=y=0，那么f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0
令y=-x，那么f(0)=f(x)+f(-x)=0，而f(x)的定义域为R，关于原点对称
所以f(x)是奇函数
(2)当x>0，y>0时，x+y>x，且f(y)<0，而f(x+y)=f(x)+f(y)
所以f(x+y)-f(x)=f(y)<0，即f(x+y)<f(x)
所以f(x)在(0，+∞)上单调递减
当x<0时，-x>0，所以f(-x)<0，那么f(x)=-f(-x)>0
同样，当x<0，y<0时，x+y<x，且f(y)>0，那么f(x+y)-f(x)=f(y)>0
即f(x+y)>f(x)，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减
于是f(x)在定义域R上单调递减
所以f(x)max=f(-6)=-f(6)
令x=y=2，那么f(4)=f(2)+f(2)=-2；
令x=2，y=4，那么f(6)=f(2)+f(4)=-3
所以f(x)max=f(-6)=-f(6)=3

Answer 3

1，求证：y=f（x）是奇函数
令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),可得f(0)=0，
令x+y=0，即y=-x，则f(x+y)=f(0)=f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=0
可得f(-x)=-f(x)，即满足了奇函数的定义

2，求y=f（x）在区间[-6,6]上的最大值
对于任意的x>y，有x-y>0,
又由已知，当x>0时,f(x)<0
则f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)<0,即f(x)<f(y),故函数在R内为单调递减函数
所以在区间[-6,6]上的最大值为f(-6)
f(-6)=-f(6)=-[f(4)+f(2)]=-[f(2)+f(2)+f(2)]=3，即为[-6,6]上的最大值

这一类题要反复运用f(x+y)=f(x)+f(y)这样的已知函数特性

Answer 4

1. 先证 f(0)=0,： 因为f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), 所以f(0)=0;
又 f(-x)+f(x)=f(0)=0, 所以 f(-x)=-f(x), 综上y=f（x）是奇函数。

2.因为x>0时,f(x)<0，所以 若y>0,f(x)>f(x)+f(y)=f(x+y),即是说y=f（x）是减函数，
所以区间[-6,6]上的最大值在x=-6时取得，f(-6)=-f(6)=-[f(4)+f(2)]=3.
其中f(4)=2f(2)=-2

手打挺不容易的，望采纳谢谢!

Answer 5

令 x =y=0, 所以f(0) =0
再令 y= -x , 所以 f(-x) =- f(x)
f(x)为 奇函数。 又 f( 2) =-1, 所以 f(1) =-1/2 , 这是减函数。
f(x) = -x /2.