设函数 f ( x )的定义域为R，对任意实数 x 、 y 都有 f ( x + y )= f ( x )+ f ( y ),当 x >0时 f (

Question

　设函数 f ( x )的定义域为R，对任意实数 x 、 y 都有 f ( x + y )= f ( x )+ f ( y ),当 x >0时 f ( x )<0且 f (3)=－4. (1)求证: f ( x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求 f ( x )的最值.

Answer 1

(1) 证明略(2) f ( x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.

令 x = y =0,得 f (0)=0 令 y =－ x ,得 f (0)= f ( x )+ f (－ x ),即 f (－ x )=－ f ( x ) ∴ f ( x )是奇函数 (2）解: 1°,任取实数 x 1 、 x 2 ∈［－9,9］且 x 1 ＜ x 2 ,这时， x 2 － x 1 >0, f ( x 1 )－ f ( x 2 )= f ［( x 1 － x 2 )+ x 2 ］－ f ( x 2 )= f ( x 1 － x 2 )+ f ( x 2 )－ f ( x 1 )=－ f ( x 2 － x 1 ) 因为 x >0时 f ( x )＜0,∴ f ( x 1 )－ f ( x 2 )>0 ∴ f ( x )在［－9，9］上是减函数 故 f ( x )的最大值为 f (－9),最小值为 f (9). 而 f (9)= f (3+3+3)=3 f (3)=－12, f (－9)=－ f (9)=12   ∴ f ( x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.