设函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>0时，f(x)<0且f(2)

Question

设函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>0时，f(x)<0且f(2) =-1
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)试问函数f(x)在区间[-6,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最多、最小值；
若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
再令x=-y
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
所以f(x)为奇函数。
（2）令x>0 y>0
x+y>x
f(x+y)=f(x)+f(y)
当x>0时，f(x)<0
故得f(x+y)=f(x)+f(y）<f(x)
则得f(x）在区间在x>0上为减函数。。
f(x)又是奇函数
所以f(x)在整个区间上为减函数。
故在[-6,6]存在最大最小值。
f(6)=f(2+4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2+2)=3f(2)=-3
f(-6)=3

Answer 2

1、令y=0代入f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=0
令y=-x代入f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=f(x)+f(-x)=0,
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数
2、当x>0时，f(x)<0
所以f(x+y)=f(x)+f(y)<f(y),函数f(x)为减函数
令x=y=2，f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=-2
所以f(6)=f(4)+f(2)=-3在区间[-6,6]上为最小值
同理f(-6)=-f(6)=3在区间[-6,6]上为最大值

Answer 3

（1）f(0)=f(0)+f(0)可得f(0)=0
f(0)=f(x)+f(-x)=0
故f(x)是奇函数
（2）存在
当x>0时，f(x)<0,则对任意a>b>0
有f(a)=f(b)+f(a-b)<f(b)
x<0时情况也可同样证明得知f(x)为单调递减函数
最小：f(6)=3f(2)=-3
最大：f(-6)=-f(6)=3