设函数f（X)是定义域在R上的函数，且对于任意实数x y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2/3

Question

证明f(x)是奇函数
证明f(x)在R上是减函数```

Answer 1

证明:
1.
由于:
f(x+y)=f(x)+f(y)
则令x=y=0
则有:
f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0)
则:
f(0)=0

再令:y=-x
则有:
f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
f(0)=f(x)+f(-x)

由于:f(0)=0
则:f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
则:f(x)是奇函数

2.
任取X1，X2属于R，且X1>X2
则：
f(x1)-f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)

由于：X1>X2
则：x1-x2>0
又X>0时,F(x)<0
则：f(x1-x2)<0

即：对任意X1，X2属于R
X1>X2时，恒有f(x1)<f(x2)

故F(x)在R上单调递减，为减函数

Answer 2

f(x+y)=f(x)+f(y),
所以f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)
而且f(0+0)=f(0)+f(0)所以f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)
所以是奇函数
f(1)=-2/3 怎么没用