矩阵特征值和特征向量问题

例如矩阵1 2 1 他的特征值为3，-1，-1。当λ＝-1
-2 -3 0 时，矩阵秩为2，对应的特征向量个
0 0 3 数就是一个，问一下特征向量个数和重根数是否有关或者和秩有关？那n-r个数是怎么回事儿？谢谢啦，麻烦讲明白一些

推荐答案 2012-11-05

这个你的矩阵打得相当抽象啊。矩阵特征向量的个数和根的个数有关，但和特征值的重根数没关系，一时不好举例，线性代数的书上应该有例题。比如你这个题，λ=-1 是两重根，对应的特征方程恰好是秩为2，也就是只有一个自由变量，也就是只有一个特征向量（声明：没有验算～）

但是也可以举例出3阶矩阵2重根的特征值对应的特征方程有两个自由变量的（即两个线性无关的解构成的解空间）。这个，特征值根的重数和对应特征方程的解向量的个数的关系不一定，如果满足相等的条件，可以推出另一个性质，在矩阵的相似对角化里有介绍。因此结论是无关。

另外n-r是解线性方程时判断自由变量个数的而已，只是一个解方程组的方法，n为总变元数，r为系数矩阵的秩，n-r则是自由变元数，即线性无关的解向量的个数，即解空间的维度。

全都打的字比较难看懂，如有不明请追问

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其他回答

第1个回答 2012-11-05

A= 1,2,1
-2,-3,0
0,0,3
|λE-A|=0的解就是A的特征值，
特征值λ代入矩阵方程（λE-A）X=0，解出的基础解系就是对应λ的特征向量，基础解系中含的自由求知量的个数与矩阵（λE-A）的秩有关，就是n-r

第2个回答 2012-11-05

有点难度。求高人出现解决

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