矩阵的特征值与特征向量问题

Question

如题所述

Answer 1

如果A是实对称矩阵就好做了，这样可以通过不同特征值对应的特征向量正交求出另外两个特征向量（一定可以求出两个，因为A是实对称矩阵）。但这里有个问题，求出的这两个特征向量怎么对应A的两个特征值呢（有两种情况），由于缺乏条件不能断定。然而本题的特殊性就在于，这两个特征向量刚好对应B的二重特征值，这就解决了对应的问题。因此a1即是对应λ=1，A的特征向量，又是对应λ=-2，B的特征向量。而另外两个特征向量是A对应特征值±2的特征向量，也是B对应二重特征值为1的两个特征向量。
补充：Bα=(λ^5-4*λ＋1)α式子中
特征值为(λ^5-4*λ＋1)，对应的特征向量为a；而Aα=λα式子中特征值为λ，对应的特征向量为a。两式的特征向量一样，但对应的特征值不一样。
对问题补充的回答：你想的很好。结论的确是我说的那样，书上也是那么说的，如果与答案不符合，要想过答案是否有误。你也可以带着这样的问题请教你们老师。
再次补充：你解出两个不正因为交的特征向量（a2，a3）是因为你默认另外两个特征值相等了。正确的做法是从解出的两个特征向量里再选一个（a2），加上之前那个特征向量（a1）与第三个特征向量y(再假设第三个特征值的特征向量为y)都正交，这才解出第三个特征值的特征向量。我估计通过这样解出的另外两个特征向量（a2，y）等于直接把第一次解出的两个特征向量（a2，a3）正交化。
这样只需把那两个向量正交化一下就可以了

Answer 2

1.(a-xe)v1=av1+xev1=av1+xv1=(a+x)v1

所以v1是矩阵a-xe特征值为a+x的特征向量。

2.存在可逆矩阵p，使得p逆ap=对角阵△=（a1,a2,....an），

那么，（p逆ap）（p逆ap）=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an）

p逆a^2p=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an）=（a1^2,....,an^2）

所以a^2=p（a1^2,....,an^2）p逆，特征值为a1^2,....,an^2。

谢谢了，有题还来问我哈！