矩阵的特征值与特征向量的关系？

Question

如题所述

Answer 1

综述：注意到1，2为特征值故｜A-E3|，｜A+2E3|都等于零｜A²+3A-4E3|=|A-E3||A+4E3|=0。

设f（x）＝x＾2＋3x－1

则B＝f（A）

由特征值的性质知：若λ是矩阵A的特征值，则f（λ）就是多项式矩阵f（A）的特征值，所以B＝f（A）的特征值是：f（－1），f（2），f（2）。

即B的特征值是：f（－1）＝（－1）＾2＋3＊（－1）－1＝－3

f（2）＝2＾2＋3＊2－1＝9

f（2）＝9

特征值是指设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν＝λBν，其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ可以通过求解方程（A-λB)ν＝0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛（pencil)”。