（2013?丹阳市二模）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），

Question

（2013?丹阳市二模）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）弦长AB等于______（结果保留根号）；（2）当∠D等于28°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度等于多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE=

1

2

AB，∠OEB=90°，
∵OB=4，∠B=30°，
∴BE=OB?cos∠B=4×

3

2

=2

3

，
∴AB=4

3

；
故答案为：4

3

；

（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=28°，
∴∠DAB=58°，
∴∠BOD=2∠DAB=116°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=

1

2

AB=2

3

．
∴当AC的长度为2

3

时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．