如图，已知AB是⊙O的弦，OB=1，∠B=30°，C是弦AB上一动点（不与A、B重合），连CO并延长交⊙O于点D，连AD

Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=1，∠B=30°，C是弦AB上一动点（不与A、B重合），连CO并延长交⊙O于点D，连AD．（1）求弦AB长．（2）当∠D=15°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BOC相似，求AC的长．

Answer 1

（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE=

1

2

AB，∠OEB=90°，
∵OB=1，∠B=30°，
∴BE=OB?cosB=1×

3

2

=

3

2

，
∴AB=

3

；
故答案为：

3

；
（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=15°，
∴∠DAB=45°，
∴∠BOD=2∠DAB=90°；
（3）
∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∵△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴∠D=30°
∴AC=

1

2

AB=

3

2

．