如图,已知AB是圆O的弦,OB=4,角OBC=30°,点C是弦AB上任意一点[不与点A、B重合]，连结CD并延长CO交圆O于点D

Question

连结AD、DB
【1】当角ADC=18°时，求角DOB的度数
【2】若AC=2根号3，求证：△ACD相似△OCB

Answer 1

[1]解：连结OA。
因为 OA=OB，OA=OD，
所以 角OAB=角OBC=30度，角OAD=角ADC=18度，
所以 角BAD=角OAB+角OAD
=30度+18度
=48度，
所以 角DOB=角BCD+角OBC
=角BAD+角ADC+角OBC
=48度+18度+30度
=96度。
[2]解：在三角形OAC中，因为 OA=OB=4，角OAC=角OBC=30度，AC=2根号3，
所以 由余弦定理可得：
OC^2=OA^2+AC^2--2XOAXACXcosOAC
=4^2+(2根号3)^2--2X4X(2根号3)Xcos30度
=4，
OC=2，
所以 OC^2+AC^2=OA^2,
所以 三角形OAC是直角三角形，角OCA=90度，
所以 三角形OCB也是直角三角形，角OCB=90度，
因为 角OCA=90度，
所以 BC=AC=2根号3，
因为 OD=OB=4，OC=2，
所以 CD=OC+OD=6，
所以 CD/BC=AC/OC=根号3，
所以 直角三角形ACD相似于直角三角形OCB。

Answer 2

(1)连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；
(2)过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出 …

Answer 3

Answer 4

（1）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．
（2）证明：过O作OE⊥AB于E，OE过O，
由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE=12OB=2，
由勾股定理得：BE=23=AE，
即AB=2AE=43，
∵AC=23，
∴BC=23，
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=23，
∴ACOC=CDBC=3，
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．
点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．见菁优网