如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=2BC，C1A=2CA，

Question

如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积为38416，需要经过_ _次操作．

Answer 1

分析：根据题意分析可得：每次操作后，△CC1B1、△A1B1B、△AA1C1边长变为△ABC边长的2倍，故△A1B1C1面积变大为△ABC面积的7倍；即第n次操作后，面积变为7n；故要使得到的三角形的面积超过2010，最少经过4次操作．
解答：解：由题意可得规律第n次操作后，面积变为7n，则7n≥2010，解得n最小为4．
故最少经过4次操作．
或：
∵△A1B1B的边长A1B1是△ABC边长BC的2倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线，
∴S△A1B1B=2S△ABC，
∵△ABC面积为1，∴S△A1B1B=2．
同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，
∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；
同理可证S△A2B2C2=7S△A1B1C1=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少经过4次操作．

Answer 2

经过每一次操作，增长的面积是（设上次的三角形面积为S）：（1+2+3+4+2+2）S=14S（依据等高的三角形面积比为底边长的比）
即这样的三角形面积是个等比数列：1，14，14*14……
令14^n=38416

得n=4
即经过4次操作。追问

为什么增长的面积是14啊

追答

画图，依据同高的三角形面积比为底边长的比，将新图形进行分割就会发现，不难看出来的。

追问

增长的面积为什么是14

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