对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2

Question

对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△AnBnCn．（1）求面积S1；（2）求面积Sn．

Answer 1

解：连BC₁，
∵C₁A=2CA，
∴S_△ABC1=2S_△ABC，
同理：S_△A1BC1=2S_△ABC1=4S_△ABC，
∴S_△A1AC1=6S_△ABC，
同理：S_△A1BB1=S_△CB1C1=6S_△ABC，
∴S_△A1B1C1=19S_△ABC，
即S₁=19S₀，
∵S₀=S_△ABC=1，
∴S₁=19；

（2）同理，S₂=19S₁=19²S₀，S₃=19³S₀，
∴S_n=19ⁿS₀=19ⁿ．