对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A（a，2a）、B（4a，4a）（其中a为正常数），（1）求抛

Question

对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A（a，2a）、B（4a，4a）（其中a为正常数），（1）求抛物线C的方程；（2）设动点T（m，0）（m＞a），直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A 1 、B 1 ，当m变化时，记所有直线A 1 B 1 组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。

Answer 1

解：（1）当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y 2 =2px， ∵ ， ∴p=2a， ∴y 2 =4ax； 当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x 2 =2py， ∵ ， ∴方程无解， ∴抛物线不存在。 （2）设A 1 （as 2 ，2as）、B 1 （at 2 ，2at），T（m，0）（m＞a）， ∵ ， ∴ ， ∴as 2 +（m-a）s-m=0， ∵（as+m）（s-1）=0， ∴ ， ∴A 1 （ ，-2m）， ∵ ， ∴ ， ∵2at 2 +（m-4a）t-2m=0， ∴（2at+m）（t-2）=0， ∴t= ， ∴B 1 （ ，-m）， ∴ 的直线方程为y+2m= ， ∵直线的斜率为 在（a，+∞）单调， ∴所以集合M中的直线必定相交， ∵直线的横截距为 在（a，+∞）单调，纵截距为 在（a，+∞）单调， ∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。