已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．（1）求含
已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．（1）求含有常数a的抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄x轴．垂足是H，求证：PD=PH；（3）设过原点O的直线l与抛物线在笫一象限相交于A、B两点，若DA=2DB．且S△ABD=42．求a的值．
（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a，
∵经过点（2a，2a），
4a2k+a=2a，
∴k=
，
则抛物线的解析式为：y=
x2+a；
（2）连接PD，设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y-2a）2+x2=y2-4ay+4a2+x2，
∵y=
x2+a，
∴x2=4a×（y-a）=4ay-4a2，
∴PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2，
∴PD=PH，
（3）过B作BE⊥x，AF⊥x，
由（2）的结论：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2OB，
∴B是OA的中点，
∵C是OD的中点，
连接BC，∴BC=
=
=BE=DB，
过B作BR⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+
=
，
∴
=
x2+a，
∴x2=2a2，
∵x＞0，
∴x=
a，
∴B（
a，
），AO=2OB，
∴S△OBD=S△ABD=4
，
∴
×2a×
a=4
∵经过点（2a，2a），
4a2k+a=2a，
∴k=
| 1 |
| 4a |
则抛物线的解析式为：y=
| 1 |
| 4a |
（2）连接PD，设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y-2a）2+x2=y2-4ay+4a2+x2，
∵y=
| 1 |
| 4a |
∴x2=4a×（y-a）=4ay-4a2，
∴PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2，
∴PD=PH，
（3）过B作BE⊥x，AF⊥x，
由（2）的结论：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2OB，
∴B是OA的中点，
∵C是OD的中点，
连接BC，∴BC=
| AD |
| 2 |
| AF |
| 2 |
过B作BR⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+
| a |
| 2 |
| 3a |
| 2 |
∴
| 3a |
| 2 |
| 1 |
| 4a |
∴x2=2a2，
∵x＞0，
∴x=
| 2 |
∴B（
| 2 |
| 3a |
| 2 |
∴S△OBD=S△ABD=4
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 2 |
|
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