如图,三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行BC,设MN交角BCA的平分线于E,交角BCA的外角平分线于点F。
1、求证:EO=FO
2、当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论。
请写出详细过程
如下:
1、证明
∵MN//BC
∴∠OEC=∠BCE
∴∠OFC=∠FCG
∵∠BCE=∠OCE(OE是∠BCA的内角平分线)
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC
∵∠OCF=∠FCG(OF是∠BCA的外角平分线)
∴∠OCF=∠OFC
∴OF=OC
∴OE=OF。
2、当o点在ac中点时,四边形aecf为矩形。
由1得oe=of且oc=oa(o为ac中点),
所以四边形aecf为平行四边形(对角线相互平分的四边形为平行四边形)。
又因为角bca+角ack=180度(k为bc延长线上一点),
角bce=角eca且角bce+角eca=角bca,
角acf=角fck且角acf+角fck=角ack,
所以角ecf=角eca+角acf=1/2bck=90度。
所以四边形acef为矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)。
矩形的常见判定方法如下:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2)对角线相等的平行四边形是矩形。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
(4)定理:经过证明,在同一平面内,任意两角是直角,任意一组对边相等的四边形是矩形。
(5)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。