ln(x+根号1+x^2）的等价无穷小是什么

Question

如题所述

Answer 1

是x，如下：

当x→0时，等价无穷小：

（1）sinx~x 

（2）tanx~x 

（3）arcsinx~x 

（4）arctanx~x 

（5）1-cosx~1/2x^2 

（6）a^x-1~xlna 

（7）e^x-1~x 

（8）ln(1+x)~x 

（9）(1+Bx)^a-1~aBx 

（10）[(1+x)^1/n]-1~1/nx 

（11）loga(1+x)~x/lna

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

这个函数就是反双曲正弦函数，它的幂级数展开式就是等价无穷小，在图的下部分。

Answer 4

要找到 ln(x + √(1 + x^2)) 的等价无穷小，我们可以使用极限运算和泰勒展开来近似。
首先，我们将函数 ln(x + √(1 + x^2)) 写成更简化的形式：
ln(x + √(1 + x^2)) = ln(x) + ln(1 + √(1 + x^2)/x)
接下来，我们考虑当 x 趋近于 0 时，√(1 + x^2)/x 的极限值。我们可以进行一些代数化简：
√(1 + x^2)/x = (1 + x^2)^(1/2)/x = [(1 + x^2)^(1/2) - 1 + 1]/x
利用泰勒展开，我们可以将 (1 + x^2)^(1/2) 在 x = 0 处展开成幂级数：
(1 + x^2)^(1/2) = 1 + (1/2)x^2 + O(x^4)
将上述展开式代入 √(1 + x^2)/x 的表达式中，得到：
√(1 + x^2)/x = [(1 + x^2)^(1/2) - 1 + 1]/x
= [(1/2)x^2 + O(x^4)]/x
= (1/2)x + O(x^3)
因此，当 x 趋近于 0 时，√(1 + x^2)/x 的等价无穷小是 (1/2)x。
现在，我们可以将 ln(x + √(1 + x^2)) 的等价无穷小写成更简洁的形式：
ln(x + √(1 + x^2)) = ln(x) + ln(1 + √(1 + x^2)/x)
= ln(x) + ln(1 + (1/2)x + O(x^2))
= ln(x) + (1/2)x + O(x^2)
因此，ln(x + √(1 + x^2)) 的等价无穷小是 (1/2)x。

Answer 5

要找出 ln(x+√(1+x^2)) 的等价无穷小，我们可以使用泰勒级数展开来逼近 ln 函数。首先，我们将 √(1+x^2) 展开为泰勒级数，然后将其代入 ln 函数中进行简化。

√(1+x^2) 的泰勒级数展开为：

√(1+x^2) = 1 + (1/2)x^2 - (1/8)x^4 + (1/16)x^6 - ...

接下来，将该展开代入 ln(x+√(1+x^2)) 中：

ln(x+√(1+x^2)) = ln(x + 1 + (1/2)x^2 - (1/8)x^4 + (1/16)x^6 - ...)

根据级数的性质，我们可以忽略高阶项，因为它们在无穷小的情况下会趋近于零。

所以，可以近似为：

ln(x+√(1+x^2)) ≈ ln(x + 1 + (1/2)x^2)

现在我们可以将该式展开为泰勒级数，得到：

ln(x+√(1+x^2)) ≈ ln(1 + x) + (1/2)ln(x)

这个近似等式中的项 ln(1 + x) 可以进一步用其泰勒级数展开来近似，得到：

ln(x+√(1+x^2)) ≈ x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 + (1/2)ln(x)

所以，ln(x+√(1+x^2)) 的等价无穷小可以表示为 x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3。

需要注意的是，这是通过一系列近似步骤得到的，只在无穷小范围内成立。在特定的具体值和范围内，可能需要更精确的逼近来确定等价的无穷小。