如何找出ln(x+√(1+ x^2))的无穷小量？

Question

如题所述

Answer 1

要找出 ln(x+√(1+x^2)) 的等价无穷小，我们可以使用泰勒级数展开来逼近 ln 函数。首先，我们将 √(1+x^2) 展开为泰勒级数，然后将其代入 ln 函数中进行简化。

√(1+x^2) 的泰勒级数展开为：

√(1+x^2) = 1 + (1/2)x^2 - (1/8)x^4 + (1/16)x^6 - ...

接下来，将该展开代入 ln(x+√(1+x^2)) 中：

ln(x+√(1+x^2)) = ln(x + 1 + (1/2)x^2 - (1/8)x^4 + (1/16)x^6 - ...)

根据级数的性质，我们可以忽略高阶项，因为它们在无穷小的情况下会趋近于零。

所以，可以近似为：

ln(x+√(1+x^2)) ≈ ln(x + 1 + (1/2)x^2)

现在我们可以将该式展开为泰勒级数，得到：

ln(x+√(1+x^2)) ≈ ln(1 + x) + (1/2)ln(x)

这个近似等式中的项 ln(1 + x) 可以进一步用其泰勒级数展开来近似，得到：

ln(x+√(1+x^2)) ≈ x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 + (1/2)ln(x)

所以，ln(x+√(1+x^2)) 的等价无穷小可以表示为 x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3。

需要注意的是，这是通过一系列近似步骤得到的，只在无穷小范围内成立。在特定的具体值和范围内，可能需要更精确的逼近来确定等价的无穷小。

Answer 2

√(1+ x^2) = 1+ (1/2)x^2 +o(x^3)
x+√(1+ x^2) = 1+ x+ (1/2)x^2 +o(x^3)
ln(x+√(1+ x^2))
=[x+ (1/2)x^2] - (1/2)[x+ (1/2)x^2]^2 +(1/3)[x+ (1/2)x^2]^3 +o(x^3)
=[x+ (1/2)x^2] - (1/2)[x^2+ x^3+...] +(1/3)[x^3+...] +o(x^3)
=x -(1/6)x^3 +o(x^3)