第1个回答 2010-06-15
说明：这不是普通积分，这叫“瑕积分”。这是因为x=0点是lnx的瑕点。解法如下。
解：原式=lim(η->0)∫(η,e)lnxdx
=lim(η->0)[(xlnx)│(η,e)-∫(η,e)dx] (应用分部积分法)
=lim(η->0)[e-ηlnη-(x)│(η,e)]
=lim(η->0)(e-ηlnη-e+η)
=lim(η->0)(η-ηlnη)
=lim(η->0)[(1-lnη)/(1/η)]
=lim(η->0)[(-1/η)/(-1/η²)] (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=lim(η->0)(η)
=0
第2个回答 2010-06-28
直接利用直接用广义积分
∫<0,e> lnx
= (xlnx-x)|<0,e>
= (e*ln(e) - lim<x->0>xlnx) - (e-0)
= 0
兄弟注意求lim<x->0>xlnx的方法，利用洛必达法则：
xlnx=lnx/(1/x),
(lnx)'=1/x,
(1/x)'=-1/x^2
所以lim<x->0>xlnx=0
第3个回答 2010-06-15
分部积分，∫<0,e> lnxdx=xlnx|<0,e>-∫<0,e>x*1/xdx
=xlnx-x|<0,e>
但是ln0=-oo的， 估计积分限是∫<1,e>吧？
第4个回答 2020-05-29
此积分属于非正常积分，容易判断在0处积分收敛
于是，由分部积分法得
∫<0,e>
lnxdx
=xlnx|<0,e>-∫<0,e>
dx
=e-x|<0,e>
=e-e
=0