定积分 ∫<上限e,下限1/e> √ln²x dx

Question

如题所述

Answer 1

∫<1/e→e> √ln²x dx
= ∫<1/e→1> （-lnx） dx +∫<1→e> lnx dx
=- ∫<1/e→1> lnx dx +∫<1→e> lnx dx；分布积分法
=-【xinx｜<1/e→1>－ ∫<1/e→1> xd（lnx）】 ＋【xinx｜<1→e>－ ∫<1→e> xd（lnx）】
=－xinx｜<1/e→1>＋ ∫<1/e→1> dx ＋xinx｜<1→e>－ ∫<1→e> dx
=－[0－1/e×﹙－1﹚]＋x｜<1/e→1> ＋﹙e－0﹚－x｜<1→e>
=－1/e＋﹙1－1/e﹚＋e－﹙e－1﹚
=－2/e＋1＋e－e＋1
=2－2/e

Answer 2

显然在1到e上，lnx大于0，
而在1/e到1上，lnx小于0，

故
∫<上限e,下限1/e> √ln²x dx
=∫<上限1,下限1/e> -lnx dx + ∫<上限e,下限1> lnx dx
而
∫ lnx dx
= x * lnx -x +C （C为常数）
所以
∫<上限e,下限1/e> √ln²x dx
=∫<上限1,下限1/e> -lnx dx + ∫<上限e,下限1> lnx dx
= (-x * lnx +x) <上限1,下限1/e> + (x * lnx -x) <上限e,下限1>
= 1 - 2/e + 1
= 2 - 2/e本回答被提问者和网友采纳