函数f(x)定义域为R,若f(x+1)=f(x-1)

Question

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

Answer 1

解答：
若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数

∴ f(x+1)=-f(-x+1) ①
f(x-1)=-f(-x-1) ②
将②中的x换成 -x+2
则f(-x+1)=-f(x-3) ③
由①③
则 f(x+1)=f(x-3) ④
将④中的x换成x+3
则 f(x+4)=f(x)
∴ f(x)的周期是4
∵ f(x-1)是奇函数
∴ f(x+3)也是奇函数
选D

Answer 2

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( D )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

f(x＋1)是奇函数，则f(－x＋1)=－f(x＋1)
f(x－1)是奇函数，则f(－x－1)=－f(x－1) ==>>> f[－(x＋2)－1]=－f[(x＋2)－1]=－f(x＋1)
则：f(－x＋1)=f[－(x＋2)－1]=f(－x－3) ==>>> f(－x＋1)=f(－x－3) ===>>> f(x＋1)=f(x－3)
则f(x)是以4为周期的函数，即：f(x)=f(x＋4)
又：f(－x＋1)=－f(x＋1) ===>>> f[－(x＋4)＋1]=－f[(x＋4)＋1]　==>>> f(－x－3)=－f(x＋5)
f(x＋5)=f(x－3)
所以：f(－x－3)=－f(x－3)，即：f(x＋3)是奇函数。

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Answer 3

f(x＋1)是奇函数，则f(－x＋1)=－f(x＋1)
f(x－1)是奇函数，则f(－x－1)=－f(x－1) ==>>> f[－(x＋2)－1]=－f[(x＋2)－1]=－f(x＋1)
则：f(－x＋1)=f[－(x＋2)－1]=f(－x－3) ==>>> f(－x＋1)=f(－x－3) ===>>> f(x＋1)=f(x－3)
则f(x)是以4为周期的函数，即：f(x)=f(x＋4)
又：f(－x＋1)=－f(x＋1) ===>>> f[－(x＋4)＋1]=－f[(x＋4)＋1]　==>>> f(－x－3)=－f(x＋5)
f(x＋5)=f(x－3)
所以：f(－x－3)=－f(x－3)，即：f(x＋3)是奇函数。