函数f（x）的定义域为R,若f（x＋1）与f（x－1）都是奇函数，则 A.f（x）是

Question

函数f（x）的定义域为R,若f（x＋1）与f（x－1）都是奇函数，则 A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数C.f（x）＝f（x＋2）D.f（x＋3）是奇函数

Answer 1

解答：
∵f(x+1)是奇函数，∴f(-x+1)=-f(x+1) ①
∵ f(x-1)是奇函数，∴f(-x-1)=-f(x-1)；②
（1）由f(-x+1)=-f(x+1)
将x换成x+1
则 f(-x)=-f(x+2)；
（2）由f(-x-1)=-f(x-1)
将x换成x-1，
则f(-x)=-f(x-2)；
∴ f(x-2)=f(x+2)，函数的周期为4；
进而有f(x-1)=f(x+3)，f(-x-1)=f(-x+3)；加上f(-x-1)=-f(x-1)②
∴ f(-x+3)=-f(x+3)；
∴ f(x+3)是奇函数。

∴ D是正确答案

Answer 2

f（x＋1）是奇函数，则：f(-x+1)=-f(x+1)
则：f[-(2-x)+1]=-f[(2-x)+1]
即：f(x-1)=-f(3-x)
则：-f(x-1)=f(3-x) ①
f（x－1）是奇函数，则：f(-x-1)=-f(x-1) ②
由①②得：f(3-x)=f(-x-1)
则：f[3-(-x-1)]=f[-(-x-1)-1]
即：f(4+x)=f(x)
所以，f(x-1)=f[(x-1)+4]=f(x+3)
把f(x-1)=f(x+3)代入①式，得：-f(x+3)=f(-x+3)
所以，f(x+3)是奇函数
选D

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O