函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数, A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数 C.f（x）=f（x+2）

Question

D.f（x+3）是奇函数
请逐项解释，谢谢

Answer 1

f(x+1)是奇函数，则有f(-x+1)=-f(x+1)；①
f(x-1)是奇函数，则有f(-x-1)=-f(x-1)；②
在①式中令x=x+1，则有f[-(x+1)+1]=-f[(x+1)+1]，即f(-x)=-f(x+2)；
在②式中令x=x11，则有f[-(x-1)+1]=-f[(x-1)-1]，即f(-x)=-f(x-2)；
则f(x-2)=f(x+2)，可知周期为4；
周期为4，则f(x-1)=f(x+3)，f(-x-1)=f(-x+3)；
由②式：f(-x-1)=-f(x-1)，可得：f(-x+3)=-f(x+3)；
所以：f(x+3)是奇函数，选D。

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！追问

周期是什么？

追答

周期就是：若一个函数满足f(x+T)=f(x)，则周期为4；
这个很简单的，没学过的话，我改一下啊。
从“则f(x-2)=f(x+2)，可知周期为4”这边开始改：
则f(x-2)=f(x+2)，令x=x+2，则f[(x+2)-2]=f[(x+2)+2]，即f(x)=f(x+4)；
所以：f(x-1)=f(x-1+4)=f(x+3)；
f(-x-1)=f(-x-1+4)=f(-x+3)；
由②式：f(-x-1)=-f(x-1)，可得：f(-x+3)=-f(x+3)；
所以：f(x+3)是奇函数，选D。

Answer 2

C.f（x）=f（x+2）
若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，说明函数右移一个单位和左移一个单位，函数不变，因此函数的周期是2，故选C追问

不好意思，答案是D

追答

D答案是错误的呀

追问

D是正确的

追答

噢，或许我搞错了，
用代数法算
f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,
把(x+1)-(x-1)=2
因此奇函数的周期是2
把x=x+2代入得
f(x+2+1)=f(x+3)时奇函数。
呀，真是D

追问

周期？

追答

f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,
把(x+1)-(x-1)=2
因此奇函数的周期是2