已知函数f（x)是定义域为R的奇函数，且f（1+x)=f(1-x)

Question

已知函数f（x)是定义域为R的奇函数，且f（1+x)=f(1-x)。若x∈（0，1]时，f(x)=x,求x∈[1,5]时，函数f(x)的解析式

Answer 1

根据题意：f(1+x)=f(1-x)，所以函数关于x=1对称

函数是奇函数，故f(x-1)=-f(1-x)，所以：f(x+1)=-f(x-1)，所以函数是周期函数

例如：

解：∵f（x）是定义域为R的奇函数

∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x）

∴f（1-x）=-f（x-1）

又∵f（1+x）=f（1-x）

∴f（1+x）=-f（x-1）

∴f（x+2）=-f（x）且f（x+4）=-f（x+2）

∴f（x+4）=f（x）

∴原函数的周期为T=4

∴f（2010）=f（2）

 f（2011）=f（-1）

∵f（1+x）=f（1-x），且f（0）=0

性质

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

以上内容参考：百度百科-奇函数

Answer 2

f（x）=-x+2, x∈[1，3]；
f（x）=x-4, x∈[3，5]；来自：求助得到的回答

Answer 3

数学之美团为你解答

根据题意：f(1+x)=f(1-x)，所以函数关于x=1对称
又函数是奇函数，故f(x-1)=-f(1-x)，所以：f(x+1)=-f(x-1)，所以函数是周期函数
且最小正周期是2|1+1|=4。

x∈(0,1]时，f(x)=x，因f(x)是奇函数，所以在x∈[-1,0)，f(x)=x
根据f(x)是R上的奇函数，知道函数在原点有定义，又函数关于x=1对称
所以在区间[1,3]，f(x)=-x+2，又函数是周期为4的函数
故在区间[3,5]，因：f(x)=f(x-4)=x-4

所以所求函数为：f(x)=-x+2，x∈[1,3]；f(x)=x-4，x∈[3,5]本回答被网友采纳