已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E,F在斜边AB上，切∠ECF=45°。求证：AE²+BF²=EF²。

急……

推荐答案 2011-10-10

设∠ACE=α，∠BCF=β，则α+β=45,α+β+45=90,2(α+β)=90
⊿ACE中用正弦定理有 AE/sinα=CE/sin45
所以CE=AEsin45/sinα
⊿CEF中用正弦定理有：EF/sin45=CE/sin(45+β)=CE/cosα
所以 EF=sin45* AEsin45/sinαcosα=AE/sin2α
所以 AE=EF*sin2α
同理BF=EF*sin2β
所以AE²+BF² =EF²（sin²2α+sin²2β）=EF²得证追问

能不能整点我能看懂的，用初三数学回答。OK？

追答

作CD=CE，且角BDC=角ACE，连BD,DF，如图所示。
因为AC=AB,CE=CD
所以三角形AEC全等于三角形BDC
所以 AE=BD
角BCD=角ACE
角CAB=角CBD
因为角CAB+角CBA=90度
所以角CBD+角CBA=90度
所以 BD垂直于BF
因为角BCF+角ACE=45度且角ACE=角BCD
所以角BCD+角BCF=45度
所以角DCF=角ECF=45度
又CE=CD CF=CF
所以三角形CEF全等于三角形CDF
所以EF=DF
在直角三角形BDF中
因为 BD平方+BF平方=DF平方
又 BD=AE,EF=DF
所以 AE平方+BF平方=EF平方

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