记S是平面z=x+y上被x^2+y^2=1围出来的那一部分,
法向量是(-1,-1,1)/根号(3),
与题目要求的L的定向是协调的。S的方程为z=x+y,x^2+y^2<=1。由Stokes公式有
原积分=
1/根号(3)*第一型面积分_S |-1 -1 1
a/ax a/ay a/az
xz x y^2/2 | dS
=1/根号(3)*第一型面积分_S (1-x-y)dS
注意到曲面S关于yz平面对称,被积函数x关于yz平面奇对称,因此积分值是0,
同理y的积分值是0,而1的积分只是曲面S的面积。
=1/根号(3)*
二重积分_D 根号【1^2+(-1)^2+(-1)^2】dxdy
=pi。
其中D是圆x^2+y^2<=1