第1个回答 2019-04-08
我不知道你想问什么,因为所有积分的值都与坐标系无关,那是因为有所谓的“微分的形式不变性”,或者讲“换元法”。换元法说的就是一个坐标内的积分,可以在另一个(微分等价的)坐标内来做。
而旋度也是与坐标无关的定义,虽然在有坐标的时候,它按照坐标来定义,但是不管你怎么定义,对E^3的向量场X,设和它对偶的一次形式场为w,也就是w(Y)
=
,dw是二次形式场,设Z是和*dw(*是Hodge
star
operator)对偶的那个向量场,那么Z就是X的旋度。你可以验证下这个定义和一般基于坐标的定义一致,并且满足上面给的方程(实际上上面给的方程也用来定义旋度)。这些定义都是不依赖于坐标的,也就是说,旋度是几何量。
不知道这是不是你要问的。
更具体一点:
设
w
是
与
F
对偶的一次形式场,用
\int_C
记在封闭路径
C
上的线积分,\int_S
是在曲面
S
上的面积分。ds
是
C
上的线元,dS
是
S
上的面元。i
:
C
->
E^3
是包含映射,
i^*是回拉。T
是
C
上的单位切向量,n
是
S
上的单位外法向量。
那么左边
\int_C
=
\int_C
<
F,
T*ds>
=
\int_C
ds
=
\int_C
w(T)
ds
注意到
(i^*)(w)(T)
=
w(T)
=
w(T)*ds(T)
所以
(i^*)(w)
=
w(T)ds
这个式子说,w
在
C
上的限制,等于w(T)ds
所以上面的积分
\int_C
w(T)
ds
=
\int_C
(i^*)(w)
(由
Stokes
公式)
=
\int_S
dw
记
curlF
是
F
的旋度,则
=
(*dw)(n)
对任意S上一点的单位正交切向量X,
Y,
dS(X,Y)=1
所以
dS
(
X,Y)
=
=
(*dw)(n)
=
dw(X,
Y)
所以
dS
=
dw
所以上面的积分等于右边。