一道高数题求救，关于斯托克斯公式

Question

请教一道高数题仅限使用斯托克斯公式求解∮xyz dz ,其中曲线Γ是用平面y=z截球面x^2+y^2+z^2=1所截得得截痕,从z轴的正向看去,沿逆时针方向.（x^2代表x的平方）疑问如图：
或者说斯托克斯公式中那个曲面随意取是什么意思？应该怎么取？

Answer 1

题主你好，斯托克斯公式中的曲线是光滑曲面的光滑边界曲线，因此对∑的取法需要满足两个条件。一是曲面必须光滑，二是曲面必须要以此曲线为边界。因此你取∑为x^2+y^2+z^2=1这个球面是不行的，因为球面没有边界曲线!
对于这种平面截曲面的问题，我们一般取∑为截痕（边界曲线）所围成的平面，对于此题来说就是一个倾斜的椭圆平面，平面与曲面方程联立消掉z得到∑在xoy平面上投影为x^2+2y^2=1,方为正确答案。
祝你学习愉快，学业有成。