关于高等数学中斯托克斯公式的方向问题

Question

问题写在图片里了，请教各位老师方向对结果有影响吗？
还有曲线围成的图形的问题，为什么一定是个圆，像我在图片里做的笔记的那种情况可以吗？

Answer 1

　　（1）斯托克斯公式的曲面的法线方向规定为与边界曲线的方向依照右手法则，方向相反就会差一个负号。
　　（2）理论上以题中闭曲线为边界的任何曲面都可以用在斯托克斯公式上，但实际计算中总是越简单越好。你看看，取平面是不是最简单？

Answer 2

有影响，结果会变成负的追问

还有曲线围成的图形的问题，为什么一定是个圆，像我在图片里做的笔记的那种情况可以吗？

追答

球被任意平面截得的图形都是圆

追问

题目没有说是用平面截得的图形，只是说曲线围成的图形，所以我就不太能理解我说的那种情况

Answer 3

其实没有影响 假如法向量取了负的(与拇指相反)，法向量cos值也是负的，外加你自己填一个负号，还是和法向量正向结果一样的，dydz ＝cosαds
也要有一个负号，所以和没加负号结果一样的。欢迎追问

Answer 4

会相差一个负号。追问

还有曲线围成的图形的问题，为什么一定是个圆，像我在图片里做的笔记的那种情况可以吗？

追答

你要是取那个帽子样的曲面的话，恐怕不好计算。

追问

我是想问，使用斯托克斯公式得出的结果，跟曲线围成什么样的曲面没关系吗？

追答

是的。你可以用高斯公式证明这一点（注意旋度的散度总为0）。

追问

那么就是说用斯托克斯中曲线围成的曲面，它一定是“平的”是吗？而不会像帽子那样凸起？