二项式定理在x²（1-X）^10的展开式中，x^5的系数是多少、

Question

第一题在x²（1-X）^10的展开式中，x^5的系数是多少、

第二题在（1+x+x²）（1-x）^10的展开式中，x^5的系数是多少？

Answer 1

在x²(1-X)^10的展开式中，x^5的系数，就是在(1-x)^10的展开式中x^3的系数，为-120。
在(1+x+x²)(1-x)^10的展开式中，x^5的系数，就是在(1-x)^10的展开式中x^3的系数+x^4的系数+x^5的系数，为-120+210-252=-162。追问

能给出详细的解题过程吗、方便大家学习！

追答

第一题：将(1-X)^10的展开式中的含x^3的项乘以x²，就得到含x^5的项了，它的系数为-C(3，10)=-120。这里-C(3，10)=-(10*9*8)/(3*2*1)=-120。
第二题：将(1-X)^10的展开式中的含x^3、x^4、x^5的项分别乘以(x²+x+1)中的x²、x、1，都可得到x^5的项，故x^5的系数是这三项的系数之和，即-C(3,10)+C(4,10)-C(5,10)=-162。