多项式展开式的系数问题怎么算？比如（x²+3x+1）∧5中求x²的系数这样的

Question

如题所述

Answer 1

多项式展开式的系数问题需用利用二项式定理进行求解。

扩展资料：

二项式定理的性质（作用）：

①证明组合恒等式：二项式定理给出的系数可以视为组合数  的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。

②证明自然数幂求和公式：如果一个式子不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。

当n为奇数时，由1+2+3+4+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数

=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1+2+3+4+5+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+[4+(N-4)]...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数

又当n为偶数时，由1+2+3+4+5+6+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]

=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。

其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n次幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。

参考资料来源：百度百科-多项式系数

Answer 2

只有第一项(x²+1)^5和第三项90(x²+1)³ x²里有x²项；其他各项里都不含x²的项。

90(x²+1)³x²=90(x^6+3x^4+3x²+1)x²。。。。里有90x²；

故x²项的系数为95.

Answer 3

看了一下蔷祀的答案非常好，但是不好理解。

可以把(x²+3x+1)^5   当作5个口袋，每个口袋里有x²、3x、1三样东西。

求x²的系数：

在5个口袋任意一个中取x²，其余全部取1：总共有C(5,1)=5种取法。

在5个口袋中任意两个中取3x，其余全部取1：总共有C(5,2)=10中取法。

所以系数为5*1+10*9=95。

可以得出类似(ax²+bx+c)^d这样的式子x²的系数为：

a*c*C(d,1)+b*b*c*C(d,2)

Answer 4

把三项化成两项，即「（x²＋3x）+1」∧5，然后再继续利用二项式定理设出2个未知数求两次就可以了，即C5r（x²＋3x）∧5-r×1∧r，crkx²r-k×3x∧k在求出2r-k＝3的各种情况就可以了

Answer 5

2次化一次，弄成完全平方那种形式撒