高二数学：若实数a,b,c,d满足|b+a^2-3lna|+(c-d+2)^2=0，则(a-c)^2+(b-d)^2的最小值为？

Question

如题所述

Answer 1

(b+a^2-3lna)^2+(c-d+2)^2=0

∴b+a^2-3lna=0

c-d+2=0

将b+a^2-3lna=0看成

y+x^2-3lnx=0

即曲线y=3lnx-x^2

c-d+2=0看成

直线x-y+2=0

y=x+2

(a-c)^2+(b-d)^2的最小值即曲线y=3lnx-x^2点到直线y=x+2的最近距离

y'=3/x-2x

做与直线y=x+2平行且与曲线相切的直线

∴y'=3/x-2x=1

x=1

∴切点P纵坐标=0-1=-1

∴切点到直线距离即最近距离

=|1-(-1)+2|/√2

=4/√2

=2√2

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