若实数a、b、c、d满足 ＝1，则(a－c) 2 ＋(b－d) 2 的最小值为________

Question

若实数a、b、c、d满足 ＝1，则(a－c) 2 ＋(b－d) 2 的最小值为________．

Answer 1

(1－ln2) 2

∵ ＝1，∴b＝a 2 －2lna，d＝3c－4，∴点(a，b)在曲线y＝x 2 －2lnx上，点(c，d)在曲线y＝3x－4上，(a－c) 2 ＋(b－d) 2 的几何意义就是曲线y＝x 2 －2lnx到曲线y＝3x－4上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x 2 －2lnx(x>0)平行于直线y＝3x－4的切线，∵y′＝2x－ ，令y′＝2x－ ＝3，解得x＝2，∴切点为(2，4－2ln2)，该切点到直线y＝3x－4的距离d＝ 就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a－c) 2 ＋(b－d) 2 的最小值为d 2 ＝ (1－ln2) 2 .