已知b=-a2+3lna，d=c+2，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）A．2B．2C．22D．

Question

已知b=-a2+3lna，d=c+2，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（　　）A．2B．2C．22D．8

Answer 1

∵b=-a²+3lna，设b=y，a=x，
∴y=3lnx-x²
∵d=c+2，设c=x，d=y，∴y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²
就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx-x²求导：y'（x）=

3

x

-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切点为（1，-1），
切点到直线y=x+2的距离：

|1+1+2|

2

=2

2

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故选：D．