【填空题答案】
1．R，; 2．3; 3．1； 4．5； 5．；
6．2； 7．y=2x+3； 8．1.5； 9．； 10． ；
11．充要； 12．－1； 13．； 14．2．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量m =,
n=满足m//n.
（1）求的取值范围；
（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.
【解】(1)因为m//n， 所以， ………………2分
因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得.
于是.
因为. 故三角形ABC为直角三角形. …………5分
, 因为，
所以, 故. ……………7分
(2) . ……………9分
设，则， …………… 11分
，因为 ＜0，故在（1，]上单调递减函数.
所以.所以实数x的取值范围是. …………… 14分
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD‖BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？
请说明理由.
（1）【证明】因为∠ABC=90°，AD‖BC，所以AD⊥AB.
而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,
所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. ………………3分
同理可得AB⊥PA. ………………5分
由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,
所以PA⊥平面ABCD. ……………7分
（2）【解】（方法一）不平行. ………………9分
证明：假定直线l‖平面ABCD,
由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以‖CD. ………… 11分
同理可得l‖AB, 所以AB‖CD. ……………… 13分
这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,
故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. ……………… 14分
（方法二）因为梯形ABCD中AD‖BC,
所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T. ………………… 11分
由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.
同理T平面PAB. ………………… 13分
即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.
所以直线与平面ABCD不平行. ………………… 14分
17．（本小题满分15分）
设a为实数，已知函数.
（1）当a=1时，求函数的极值．
（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．
【解】(1)依题有，故. ………2分
由
x 0 2
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
………………………5分
得在时取得极大值，在时取得极小值. …………7分
(2) 因为， ……………………9分
所以方程的两根为a－1和a+1，
显然，函数在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值. ………… 11分
因为方程=0有三个不等实根，
所以 即 解得且.
故a的取值范围是. ………………… 15分
18．（本小题满分15分）
如图，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，
且.
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.
【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c>0)，
则其右准线方程为x＝，且F1(－c, 0), F2(c, 0). ……………2分
设M，
则＝
. ………………………4分
因为，所以，即.
于是，故∠MON为锐角.
所以原点O在圆C外. ………………………7分
（2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c， …………………8分
于是M ，且 …………………9分
MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2. ………… 12分
当且仅当 y1＝－y2＝或y2＝－y1＝时取“=”号， ……………… 13分
所以(MN)min= 2c＝2，于是c=1, 从而a＝2，b＝，
故所求的椭圆方程是. ………………… 15分
19．（本小题满分16分）
下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.
1 4 7 10 13 …
4 8 12 16 20 …
7 12 17 22 27 …
10 16 22 28 34 …
13 20 27 34 41 …
… … … …
（1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；
（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列. 试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；
（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．
（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A1 j＝1+(j－1)×3＝3 j－2，
第二行数组成的数列{A2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，
所以A2 j＝4+(j－1)×4＝4 j． ……………………2分
所以A2 j－A1 j＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，
所以第j列数组成的数列{ Aij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，公差为 j＋2的等差数列，
所以Aij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3) (j＋2) 8． …………5分
故Aij＋8=(i＋3) (j＋2)是合数．
所以当＝8时，对任意正整数i、j，总是合数 …………………6分
（2）【证明】(反证法)假设存在k、m，，使得成等比数列，
即 ………………………7分
∵bn＝Ann ＝(n+2)2－4
∴
得，
即， …………………10分
又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，
∴，这与∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列．……………………12分
（3）【解】假设存在满足条件的，那么
即. …………………… 14分
不妨令 得
所以存在使得成等差数列． …………………… 16分
（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）
20．（本小题满分16分）
如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
① f(x)＝ ； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.
（1）【答】f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.
【证明】① f(x)＝ 是保三角形函数.
对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.
同理可以证明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数. ………………4分
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个
三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. ………………………8分
(2)【解】M的最小值为2. …………………… 10分
(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a，b，c∈〔M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc. 同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数. …………………… 13分
(ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))不是保三角形函数.
当0<M＜2时，取三个数M，M，M2∈〔M，＋∞)，
因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，
所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.
所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈〔M，＋∞))不是保三角形函数.
综上所述：M的最小值为2. ………………… 16分
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
选修4－1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点，D为的中点，过点D引
割线交⊙O于、两点．求证: ．
【证明】因为与圆相切于，
所以， ………………………2分
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB·DC，即 ． ………………………5分
因为， 所以∽， ………………………8分
所以． …………………… 10分
选修4－2：矩阵与变换
已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点变成了点，点变成了点，求矩阵M.
【解】设， ………………………2分
则由，， ……………………5分
得 ………………………8分
所以 因此. …………………… 10分
选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，)，半径R=，求圆C的极坐标方程.
解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC= R=. …………………4分
由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－)=5. ………………8分
化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0，此即为所求的圆C的方程. ………10分
解法二：将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，)，半径R=， ………………2分
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2=5. ………………4分
再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－)2=5. ……6分
化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0 ，此即为所求的圆C的方程. …………10分
选修4－5：不等式选讲
已知，求证：.
【证明】因为 ………………3分 ………………………7分
所以. 故. ……… 10分
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.
纪念币 A B C
概 率 a a
将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范围.
【解】(1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,. ……4分
所以的分布列为
的数学期望为
. …………5分
(2) ,
,
.
由和，得,即a的取值范围是. …………… 10分
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知．用数学归纳法证明：.
【证明】（1）当n=2时，左边－右边＝，不等式成立.
………………………2分
（2）假设当n=k（）时，不等式成立，即. ……4分
因为，所以，于是. ……………6分
当n=k+1时，
.
即当n=k+1时，不等式也成立. ………9分
综合（1），（2）知，对于，不等式总成立.
…………………… 10分
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