若实数a、b、c、d满足 ＝1，则(a－c) 2 ＋(b－d) 2 的最小值为________

Question

若实数a、b、c、d满足 ＝1，则(a－c) 2 ＋(b－d) 2 的最小值为________．

Answer 1

(1－ln2)
2
∵
＝1，∴b＝a
2
－2lna，d＝3c－4，∴点(a，b)在曲线y＝x
2
－2lnx上，点(c，d)在曲线y＝3x－4上，(a－c)
2
＋(b－d)
2
的几何意义就是曲线y＝x
2
－2lnx到曲线y＝3x－4上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x
2
－2lnx(x>0)平行于直线y＝3x－4的切线，∵y′＝2x－
，令y′＝2x－
＝3，解得x＝2，∴切点为(2，4－2ln2)，该切点到直线y＝3x－4的距离d＝
就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a－c)
2
＋(b－d)
2
的最小值为d
2
＝
(1－ln2)
2
.