G是交换群,f是G→G'的

G是交换群,f是G→G'的同态，证明G的子群H,有f∧-1(f(H))=H+Ker(f)
第二问，证明G'的子群H'，f（f∧-1（H'））＝H'交Im（f）
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推荐答案 2014-12-28

G是交换群，G中的群运算记成加法。G的单位元记成0。对于G中的元素x和y，以-y记y的逆元，x-y表示x+(-y)。

第一问。假定x 是f^(-1) f(H)里的元素，那么f(x)在f(H)里，就是说存在H中的元素h，使得f(x)=f(h)。由于f是同态，所以f(x-h)=f(x)-f(h)=0，这里减法和0的意义如上一段所述。那么x-h在Ker(f)里。所以x=h+(x-h)在H+Ker(f)里。

第二问。就用H表示这个子群了，不写那个撇了。

先要证f f^(-1) (H) 在H交Im(f)里。对于f f^(-1) (H)里的任意一个元素y，有一个f^(-1) (H)里的元素x，使得y=f(x)。那么现在y=f(x)就在H里，也在Im(f)里。

再证左边包含右边。假如y在H里，也在Im(f)里，那么存在一个x使得y=f(x)。于是f(x)在H里，就是说x在f^(-1) (H)里，那么y=f(x)就包含在等式左边的那个集合里。

这就是第二问的证明。就是把那些集合都写出来而已。追问

你好，我不明白第一问，为什么一定还有一个h属于H使得f(x)=f(h)

追答

因为f(x)在f(H)里，那么f(H)是什么呢？就是所有能写成f(h) （对某个h在H中）的元素的集合。

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