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如何证明群G是交换群？
如题所述
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第1个回答 2024-01-08
对任意a,b∈G
证明1：
∵ab*ba=a(b*b)a=aea=a^2=e
∴(ab)^(-1)=ba
∵ab*ab=(ab)^2=e
∴(ab)^(-1)=ab
∴ab=ba
∴G是交换群
证明2：
ab=eabe=(b^2)ab(a^2)=b(ba)(ba)a=b((ba)^2)a=bea=ba
∴G是交换群
我们最近就在做这道题，要求用多种证明方法，如果还有，大家可以在下面补充啊！
相似回答
如何证明
“在
群G
中,除单位元之外,其他元均为2,
证明G
为
交换群
”
答：
综上，对于G中任意两元a，b，均有a*b=b*a，所以
G是交换群
。
设群中每个元素的逆元素就是其自身,则
G是
一个
交换群
.
答：
【答案】：
证明
对任意的a，b∈G，有a*b∈G，因为一个元素的逆元素是它自己，于是有：a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a．所以(G，*)
是交换群
．本题是证群的一种特有的性质，首先，群的一般性质均体现于
G
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设G为群,
证明G
为
交换群
的充分必要条件是对于G中的任意元素x,y有(xy...
答：
由于x*x*y*y=x^2*y^2=(x*y)^2=x*y*x*y, 等号两边左乘x^(-1)知x*y*y=y*x*y, 等号两边右乘y^(-1)知x*y=y*x. 必要性得证.由于x*y=y*x, 知x^2*y^2=x*(x*y)*y=x*(y*x)*y=(x*y)^2, 充分性得证.
设G是一个群,
证明
:如果G/Z(G)是循环群,则
G是交换群
答：
是循环群,且则G/Z(G)=时：令xH,yH属于,且xH=的s次方,yH=的t次方,则xH=a的s次方*H,yH=a的t次方*H,所以有p属于H和q属于H使得x=a的s次方*p,y=a的t次方*q,由于中心Z(G)满足交换律,所以xy==(a的s次方*p)(a的t次方*q)===(a的t次方*q)(a的s次方*p)=yx,即
G是交换群
...
G\Z(G)是循环群,
证明G是交换群?
答：
证明
：G/Z(G)为循环群=>G\Z(G)=<aZ(G)>={a^i*H|i∈z}={H*a^i|i∈z},a∈G,显然
群G
可交换，故
G是交换群
。记得采纳啊
近世代数
证明
题,[
G
,G]
是换
位子群,求证,G/[G,G]为
交换群
答：
首先证[G, G]的正规性. 记a'=a^(-1). 对g，有gaba'b'g'=gabg'ga'b'g'=gag'gbg'ga'g'gb'g'=(gag')(gbg')(gag')'(gbg')'仍然属于[G, G]，故[G, G]是正规子群.对于换位子群的商
群G
/[G, G]，记[G, G]=G'. 由G'的正规性，得aG'=G'a. 于是，在G/G'中，aG'...
证明
:
群G
为一
交换群
当且仅当映射x到x的逆是一同构映射
答：
证明
:1、设
G
为
交换群
，σ:x→x^(-1)，下证σ为同构映射 (1)任取a，b∈G，且a≠b，则σ(a)=a^(-1)≠b^(-1)=σ(b)，则σ为单射;(2)任取b∈G，由于b=(b^(-1))^(-1)，因此σ(b^(-1))=b，则σ为满射;(3)任取a，b∈G，σ(ab)=(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)...
...都有x的平方等于e(好像是单位元),
证明G是
可
交换群
答：
假设X,Y是任意的属于G的两个子群,要
证明G是交换群
,就要证明XY=YX(XY)(YX)=XYYX=XeX=XX=e而(XY)(XY)=e,就是说两个都等于单位元,那么对比两式,得,YX=XY我当时学的是北京大学出版社的 有问题hi我 参考资料: 是 本回答由提问者推荐 举报| 答案纠错 | 评论(2) 19 7 247480562 采纳率:28% 擅长:...
证明
:
群G
为一
交换群
当且仅当映射x到x的逆是一同构映射
答：
任取a，b∈G，则σ(a^(-1))=a，σ(b^(-1))=b；ab=σ(a^(-1))σ(b^(-1))=σ(a^(-1)b^(-1))=σ((ba)^(-1))=ba。因此G为
交换群
。若同态映射 f 是一个双射，则称 f 为 G 到 G’ 的同构映射，这时称
群 G
和 G’ 同构。常见的同构有：自同构，群同构，环同构...
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