如何证明 “在群G中,除单位元之外,其他元均为2,证明G为交换群”答:证明:记单位元为1,运算为 则对于G中任意两个元素a,b 若a=1,b=1,则a*b=b*a=1 若a=1,b=2或a=2,b=1,则a*b=b*a=2 因为G中,除单位元外,其它元均为2,则2的逆元仍是2 所以若a=2,b=2,仍有a*b=b*a=1 综上,对于G中任意两元a,b,均有a*b=b*a,所以G是交换群.
设G是一个群,证明:如果G/Z(G)是循环群,则G是交换群答:显然中心Z(G)是G的一个正规子群,如果G/Z(G)是循环群,且则G/Z(G)=时:令xH,yH属于,且xH=的s次方,yH=的t次方,则xH=a的s次方*H,yH=a的t次方*H,所以有p属于H和q属于H使得x=a的s次方*p,y=a的t次方*q,由于中心Z(G)满足交换律,所以xy==(a的s次方*p)(a的t次方*q)===(a的...
近世代数证明题,[G,G]是换位子群,求证,G/[G,G]为交换群答:故[G, G]是正规子群.对于换位子群的商群G/[G, G],记[G, G]=G'. 由G'的正规性,得aG'=G'a. 于是,在G/G'中,aG'bG'=abG'(ba)'(ba)G'=aba'b'G'baG', 由于aba'b'属于G',故aba'b'G'=G', 于是aba'b'G'baG'=G'baG'=baG'G'=baG',即G/G'是交换的。证毕。