群定义1. 称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果 * 运算满足
结合律．当半群<S，*>含有关于 * 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．典型的半群：<I+，＋>，<N，·>，< S*，并置>定义2. 称代数结构<G，*>为群（groups）,如果
（1）<G，*>为一半群．
（2）<G，*>中有么元e.
（3）<G，*>中每一元素都有
逆元．
或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群．定义3. 设 <G，*>为一群．
（1）若 * 运算满足交换律，则称G为交换群或
阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群，常表示为<G，+ >（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆: *常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.
（2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group）．例如： （1）<I, + >（
整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.< N,+ >不是群．因为所有非零
自然数都没有逆元.
（2）<Q+ ,·>（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元. <Q ,·>不是群，因为数0无逆元．
（3）<Nk,＋k>为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 .
（4）设P为集合A上全体
双射函数的集合，○为函数合成运算.那麽 < P, ○ >为一群．A上恒等函数E A为其么元。< P, ○ >一般不是阿贝尔群.环定义1. 称代数结构<R,+,·>为环（ring），如果
（1）<R ,+>是阿贝尔群（或加群）．
（2）<R ,·>是半群．
（5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,c ∈R，有
a（b＋c）＝ ab+ac , （b＋c）a = ba+ca例如： （1）<I,+,·>(I为整数集，+,·为数加与数乘运算)为一环．
（2）所有整数分量的n ×n方阵集合Mn与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（�7�1）构成一环，即，< Mn ，+ , �7�1 > 为环．
（3）所有实系数
多项式（以x为变元）的集合R[x]与多项式加，乘运算构成环，即< R[x],+,·>为环．
（4）<{0},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元)为一环，称为零环。（其它环至少有两个元素．）
（5）<{0,e},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元，e为乘法么元)为一环．定义2. 环< R,+,·>中·运算满足交换律时，称 R为交换环（commutative rings），当·运算有么元时，称R为含么环（ring with unity）．定义3. 设< R,+,·>为环，若有非零元素 a，b满足 ab = 0，则称a,b为R的零因子（divisor of 0），并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环．例如，<Mn,+,*>是零因子环.定义4. 设< R,+,·>不是零环．称 R为整环（1ntegra1 domain），如果< R,+,·>是含么、交换、无零因子环．例如：<I,+,·>是整环，<N6,+ 6, �0�76>及< M2 ，+ , �7�1 >不是整环．注意<{0}，+，·>也不是整环,它是零环．定义5. 设< R,+,·>为环，称代数结构< S,+,·>为R的子环（subring），如果
（1） <S,+>为<R,+>的子群（正规子群）．
（2） <S ,·>为<R ,·>的子半群． 显然，当<S,+,·>为<R,+,·>的子代数系统，并且S对(关于 + 的)求逆运算“－”封闭,那么<S,+,·>为<R,+,·>的子环.另外,由于乘对加的分配律在<S,+,·>中沿袭下来，因此子环必定是环．
定义6. 设<D,+,·>为环<R,+,·>的子环．称<D,+,·>为R的理想子环,简称理想（ideals），如果对任意的r∈R,d∈D,有rd∈D，dr∈D .当D＝R或D＝{0}时，称< D,+,·>为< R,+,·>平凡理想.定义7. 代数结构< R[x]，+,·>（+,·分别是R-多项式的加、乘运算）称为R-多项式环（ring of polynomial）.
其中R[x]表示所有R上的多项式集合，容易证明R-多项式环确为一环，因为加运算满足结合律、交换律，它有么元f（x）＝0（零多项式），每一f(X)�0�2R[x]都有加法逆元-f(x)；而乘运算满足结合律、交换律，它有么元f（x= e (零次多项式e)域定义1. 称< F,+,·>为域（fields）,如果< F,+,·>为一环,且< F-{0},·>为阿贝尔群．由于群无零因子，因此域必定是整环．事实上，域也可定义为每个非零元素都有乘法逆元的整环．例如：<Q，＋，·>为域，但<I，＋，·>不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元．<N5,+ 5, �0�75>为域，1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元.但<N6,+6, �0�76>不是域，它甚至不是整环，同为它有零因子，例如2，3，它们没有乘法逆元．参考文献：
http://59.67.71.237:8080/discrete/xxwb/jdck/cks/