1)容易验证对x∈I，y∈I则xy∈I的
充分必要条件是xy=yx。若I可换，则I是G的子群，但|I|＞3/4|G|，所以I=G，即G是交换群。否则，I有两个元x和y,xy≠yx,这时|C(x)|<=1/2|G|，于是I中至少有4/3│G│-1/2│G│=1/4│G│个元与x不可换。不妨设他们为a1,a2,……,at(t=1/4│G│),则有1/4│G│个元a1x,a2x,……,atx都不属于I，因此|I|<=3/4|G|，矛盾。故G为交换群。
2）此时G不可换。显然|C(x)∩I|<=1/2|G|，若|C(x)∩I|<1/2|G|，类似1）可证明|I|<3/4|G|引发矛盾，所以|C(x)∩I|=1/2|G|。由于C(x)∩I包含于C(x)，所以│C(x)│>=1/2│G│， 但C(x)是子群其阶不能大于1/2│G│，所以│C(x)│=|C(x)∩I=1/2│G│。因为C(x)包含于I中，任给y,z∈C(x),yz∈C(x)从而属于I，所以yz=zy,即C(x)是G的一个指数为2的交换子群。
追问多谢，现在我还有一些疑问，第一小题的，“否则，I有两个元x和y,xy≠yx,这时|C(x)|<=1/2|G|，于是I中至少有4/3│G│-1/2│G│=1/4│G│个元与x不可换。不妨设他们为a1,a2,……,at(t=1/4│G│),则有1/4│G│个元a1x,a2x,……,atx都不属于I”，为什么不与x交换的元素不属于I的？